其他 数术记遗：盘点古代惊人的计算神器

[乡村中医师傅]

《数术记遗》是最早记载珠算的古籍，为汉代数学家徐岳撰写，由北周(南北朝时期)数学家甄鸾注解。书中记录了14种计算方法，分别为积算、太一、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数，除了最末的计数属于心算，其余13种均有相应的计算工具。

截图自《数术记遗》

积算​

积算，今之常算者也。以竹为之，长四寸，以放四时，方三分，以象三才。言算法是包括天地，以烛人情。数始四时，终于大衍，又加循环，故曰「今之常算是也」。

积算又称筹算(确切地说是指筹算中最经典、最主流的一种)，是我国古代在算盘出现以前最为常用的计算方法。所用工具叫算筹，算筹是一根根小小的棍子，说的是「以竹为之，长四寸」，其实从兽骨到金属，制作算筹的材质多种多样，不同时期算筹的长度也不尽相同。

筹算用棍子的纵横组合摆放来表示数字，分有纵横两式，纵式摆法中以竖棍表示1、横棍表示5，横式摆法中以横棍表示1、竖棍表示5。

不同数位上纵横式交替使用，「一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。」(语出《孙子算经》)

☞ 详细介绍可见《运筹帷幄》一文。

太一​

太一算，太一之行，去来九道。
刻板横为九道，竖以为柱，柱上一珠，数以下始。故曰「去来九道」也。

太一算的工具是一种古老的算盘。算盘上刻9道横线，从下至上分别表示1~9，纵线代表数位，算珠置于9线以上或1线以下表示0。

太一算表示的2018

两仪​

两仪算，天气下通，地禀四时。
刻板横为五道，竖以为位。一位两珠，上珠色青，下珠色黄。其青珠自上而下，至上第一刻主五，第二刻主六，第三刻主七，第四刻主八，第五刻主九；其黄珠自下而上，至下第一刻主一，第二刻主二，第三刻主三，第四刻主四，而已。故曰「天气下通，地禀四时」也。

两仪算的工具也是古老算盘的一种。算盘和太一一样画成棋盘状，使用青黄两种颜色的算珠。黄珠自下而上，所置横线分别表示1~4；青珠自上而下，所置横线分别表示5~9；两珠停于上下开外表示0。

两仪算表示的2018

三才​

三才算，天地和同，随物变通。
刻板横为三道，上刻为天，中刻为地，下刻为人，竖为算位。有三珠，青珠属天，黄珠属地，白珠属人。又其三珠能行三道：若天珠在天为九，在地主六，在人主三；其地珠在天为八，在地主五，在人主二；人珠在天主七，在地主四，在人主一。故曰「天地和同，随物变通」。亦况三元，上元甲子一、七、四，中元甲子二、八、五，下元甲子三、九、六，「随物变通」也。

三才算的工具也是古老算盘的一种。算盘同样是棋盘状，从上至下的三道横线分别名为天线、地线、人线。算珠有三种颜色，青珠称为天珠，黄珠称为地珠，白珠称为人珠。青珠置于天线为9、置于地线为6、置于人线为3，黄珠置于天线为8、置于地线为5、置于人线为2，白珠置于天线为7、置于地线为4、置于人线为1，三珠置于上下开外为0。

三才算表示的2018
《周易》将天、地、人称为三才，三才之珠在天地人间游走，可谓「天地和同，随物变通」也。

五行​

五行算，以生兼生，生变无穷。
五行之法，水玄生数一，火赤生数二，木青生数三，金白生数四，土黄生数五。今为五行算，色别九枚，以五行色数相配，为算之位。

五行算是筹算的一种，这里的算筹染有五行所对应的黑、红、青、白、黄五种颜色。黑筹表示1、红筹表示2、青筹表示3、白筹表示4、黄筹表示5，5以上就用两种颜色组合表示，黄黑筹表示6、黄红筹表示7、黄青筹表示8、黄白筹表示9。

五行算表示的2018
写到这里，我满脑子都是《千字文》那句霸气的「天地玄黄，宇宙洪荒。」

八卦​

八卦算，针刺八方，位阙从天。
为算之法，位用一针，锋所指以定算位。数一从离起，指正南离为一、西南坤为二、正西兑为三、西北乾为四、正北坎为五、东北艮为六、正东震为七、东南巽为八，至第九位阙，即在中央竖而指天，故曰「位阙从天」也。

八卦算比较特别，在八卦图上用针的指向表示数字，有点像现在的圆盘时钟。从针尖朝南表示1开始，沿顺时针顺序依次表示1~8，针尖朝上竖在中间表示9。

八卦算表示的2018

九宫​

九宫算，五行参数，犹如循环。
九宫者，即二四为肩、六八为足、左三右七、戴九履一、五居中央；五行参数者，设位之法依五行，巳注于上是也。

我国古代的天文学家把星空分为九宫格，在这九个格子里填上数字，便成了中国最早出现的幻方。

任意一行、一列、或对角线之和均为15
定睛一看，这布阵不正是洛书么！

图片来自《算法统宗》首篇
九宫在《数术记遗》所列的算法中最为特殊。其他算法都是将数字置于不同的数位以表示不同的数值，即固定数位，让数字在数位上变动，这比较符合常理；而九宫则将幻方九数定死，将代表不同数位的珠子摆到数字上，即固定数字，让数位在数字上变动。这位发明者真是脑洞清奇。

这么看，九宫的算具也是算盘的一种。

数位用不同颜色的珠子表示，还是五行之色。

可谓眼花缭乱。

九宫算表示的2018
这读数得有多吃力，何苦如此折腾，着实令人费解……

运筹​

运筹算，小往大来，运于指掌。
此法位别须算筹一枚，各长五寸，至一筹上各为五刻，上头一刻近头，一刻之其下四刻迭相去一寸，令去下一头亦一寸也。

运筹，顾名思义，想必也是筹算的一种。筹上刻了5条横线，两两相隔一寸，最上面一条靠近上端，最下面一条距离下端一寸。5条刻线从下至上分别表示1~5，把筹倒过来拿，刻线从下至上数分别表示6~9。

众所周知，3寸为10cm，这一寸的间隔，正好能容一指的宽度。把一根根这样的算筹夹在指间，用指关节表示数位。

左：运筹算表示的359(图片来自《世界珠算宝典》P751) 右：没错是我自己的手了，加了滤镜依然不堪入目……
如果运筹帷幄的张良用的是这种算筹，可想而知帷帐之中是怎样一幅疯狂「转笔」的景象……

了知​

了知算，首唯秉五，腹背两兼。
了算之法，一位为一了字，其了有三曲。其下股之末，内主一，外主九；下次第一曲，内主二，外主八；其第二曲，内主三，外主七；其第三曲，内主四，外主六；当了字之首独立五。故曰「首唯秉五，腹背两兼」也。

用一个「了」字代表一个数位，算子放在「了」的不同位置表示不同数字。

了知算表示的2018
这种算法显然是石子计数发展的产物，这种算具也可以视为一种算盘吧。

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[乡村中医师傅]

成数​

成数算，春夏生养，秋冬收成。
算之法，为别须五色算一枚。其一算之象头各以黄色为本，以生数也；余色为首，其五行各配土为成数也。水玄生数一，成数六；火赤生数二，成数七；木青生数三，成数八；金白生数四，成数九。若以首向东及南，为生数；向西及北，为成数。

成数算是一种筹算，与五行算的工具基本相通，也是使用五行之色相互搭配表示数字，在此基础上还引入了朝向的含义：朝东或朝南放的称为生数，表示1~4；朝西或朝北放的称为成数，表示6~9；单色黄筹怎么放都表示5。

古时看方位的习惯与现在恰好是相反的，为上南下北左东右西，理解起来难免会有些别扭。简单地说，1~4朝上或朝左放，6~9朝下或朝右放。

画着画着突然发现，恰好画成了香烟的模样。
如此，从1到9，每个数字便都有了一纵一横的两种摆法，与积算中的纵横两式不谋而合，摆数时纵横交错使用。

成数算表示的2018。我特意没有给0留空，得益于纵横式相间使用的规则，连续的竖筹之间必然有0，懂行的人也便不会把它读成218。
东南为春夏，曰生数；西北为秋冬，曰成数。是可谓「春夏生养，秋冬收成」，算法与四季规律完美吻合。

把头​

把头算，以身当五，目视四方。
把头之法，位别须算二枚，一漫[3]一齿者。一面刻为一，其一面为二，一面为三，其一面为四也。漫者为把、为猶[4]，即当五算；至齿者为把头，一目当一算。故曰「以身当五，目视四方」也。

把，耙也，农具。

把头算也是筹算，用一横一竖两根算筹表示数字，组合起来其形如耙。把头刻线，故称齿筹，刻一至四条线表示1~4；把身光溜溜，称漫筹，表示5。两者组合即可表示6~9。

可见，把头算要准备四种齿筹。但细细琢磨原文描述，也许只要两种齿筹，正反面刻线。

把头算表示的2018

龟算​

龟算，春夏秋成，遇冬则停。
为算之法，为别一龟，龟之四面为十二时。以龟首指寅为一，指卯为二，指辰为三，指巳为四，指午为五，指未为六，指申为七，指酉为八，指戌为九，指亥、子、丑龟头指不以为数。故云「遇冬则停」也。

我国古代以天干地支计时历法，一年四季与十二地支的对应关系正是寅卯辰春、巳午未夏、申酉戌秋、亥子丑冬。

十二地支围成一圈，中间放个乌龟(当然应该不会是真的乌龟)，龟头所指便表示相应的数字，像极了现在的钟表。春夏秋三季的地支表示1~9，冬季的地支不做用处，故曰：「春夏秋成，遇冬则停。」

我特意将十二地支按照钟表的数字顺序排列，俨然一口「龟钟」……

龟算表示的2018

珠算​

珠算，控带四时，经纬三才。
刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位。位各五珠，上一珠与下四珠色别。其上别色之珠当五，其下四珠，珠各当一[5]。至下四珠所领，故云控带四时。其珠游于三方之中，故云「经纬三才」也。

《数术记遗》是最早提到「珠算」一词的古籍，此处的珠算在本质上已与现今的十分接近，只是在形式上略有不同。

算珠有两种颜色，此处用黑白表示。每个数位上有黑珠1颗、白珠4颗。黑珠表示5，白珠表示1。算盘分为上中下三块区域，算珠组合置于中间区域以表示1~9，五珠置于上下区域表示0。

珠算表示的2018

结语​

统览十三种算法，可谓眼花缭乱，然从其所依托的工具来看，除了八卦与龟算，其余的无外乎筹算与珠算两大门类，而八卦和龟算又迷之相似，若要给它们起个门类的话，统称「指针算」也无妨吧。

• 筹算：积算、五行、运筹、成数、把头。
• 珠算：太一、两仪、三才、九宫、了知、珠算。
• 指针算：八卦、龟算。

其实这些算法，在《数术记遗》中也仅体现了数字和数位的表示方法，至于如何运算，仍是依赖于相应的心算口诀的。但仅是单纯地将算具的外形、颜色、摆法与数字关联起来，古人就赋以了五行八卦、天干地支、四季星辰等等经典的自然哲学，看似复杂，其实一通百通，都是「一生二，二生三，三生万物」的简单规律，深刻体现了我国古代学说与数学的高度契合。

我不禁想到河出图，洛出书。这两幅大道至简的数字布阵图。人类的终极智慧，往往也是智慧的源头。

图片来自《算法统宗》首篇

 

[乡村中医师傅]

豫北某古镇曾经有个“周日狗市儿”，不仅有狗，其它各色宠物也都有，还有三五十米长的古玩收藏地摊。这条路过，被一把六边形的算盘吸引了目光。

 

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汉代可编程可存储计算机

这台老官山出土织机，其实就是一台汉代计算机。

所有花纹的信息和图案都已经被储藏在84片纹综中，它把‘程序’都编好了。

你只需要简单的四步：踩下踏板、投梭、引纬、打纬，重复这4个步骤，就能完成织造。

提出问题：织机上有10470根经线，每一根都需要穿过综片，要是断了一根怎么办呢？所有程序都编码好了，如果想织造另一个图案又该如何操作？

答案：原来，织造的过程中，经线断裂的情况是时有发生的，而一旦发生断裂就必须从一万多根经线中将它找到然后重新接头接好，否则就会在织物上形成一个织疵，纹样出现差错。
　　
“而如果你想织就一个新的图案，就要将10470根经线重新再穿过综片，按照花纹规律重新编排才能制造一个新的图案，相当于重新编码。”。

这也是最让人惊叹的地方。“早在两千年前，就已经有将提花信息储存起来的意识，这就像计算机的编程，经线提起来的时候是1，不提起来的时候是0，1和0组成了二进制的概念，进而设计出图案。”。

老官山提花织机运用自动化计算的方法已经可以重复进行批量工业化生产。

从传说中养蚕、取丝的鼻祖——嫘祖到改良纺织机械的马钧，到传播棉纺技术的农妇——黄道婆，到传世巨著——《天工开物》。

 

[乡村中医师傅]

 

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